std::asinh(std::complex)

複素数の値 z の複素逆双曲線正弦を計算します。 分岐切断は虚軸に沿って区間 [−i; +i] の外側に存在します。

[編集] 引数

[編集] 戻り値

エラーが発生しなければ、 z の複素逆双曲線正弦が返されます。 戻り値は実部が数学的に非有界で虚部が区間 [−iπ/2; +iπ/2] 内の帯状の範囲内です。

[編集] エラー処理と特殊な値

エラーは math_errhandling と一貫性があるように報告されます。

処理系が IEEE 浮動小数点算術をサポートしている場合、

• std::asinh(std::conj(z)) == std::conj(std::asinh(z)) です。
• std::asinh(-z) == -std::asinh(z) です。
• z が (+0,+0) であれば、結果は (+0,+0) です。
• z が (x,+∞) (ただし x は任意の有限な正の値) であれば、結果は (+∞,π/2) です。
• z が (x,NaN) (ただし x は任意の有限な値) であれば、結果は (NaN,NaN) であり、 FE_INVALID が発生するかもしれません。
• z が (+∞,y) (ただし y は任意の有限な正の値) であれば、結果は (+∞,+0) です。
• z が (+∞,+∞) であれば、結果は (+∞,π/4) です。
• z が (+∞,NaN) であれば、結果は (+∞,NaN) です。
• z が (NaN,+0) であれば、結果は (NaN,+0) です。
• z が (NaN,y) (ただし y は任意の有限な非ゼロの値) であれば、結果は (NaN,NaN) であり、 FE_INVALID が発生するかもしれません。
• z が (NaN,+∞) であれば、結果は (±∞,NaN) (実部の符号は未規定) です。
• z が (NaN,NaN) であれば、結果は (NaN,NaN) です。

[編集] ノート

C++ 標準はこの関数に「complex arc hyperbolic sine」と名付けていますが、双曲線関数の逆関数は面積関数です。 引数は双曲的扇形の面積であり、円弧 (arc) ではありません。 正しい名前は「complex inverse hyperbolic sine」、あるいは、あまり一般的ではありませんが、「complex area hyperbolic sine」です。

逆双曲線正弦は多値関数であり、複素平面上の分岐切断が要求されます。 分岐切断は慣習的に虚軸上の線分 (-i∞,-i) および (i,i∞) に置かれます。

逆双曲線正弦の主値の数学的な定義は asinh z = ln(z + √1+z2
) です。

[編集] 例

#include <iostream>
#include <complex>
 
int main()
{
    std::cout << std::fixed;
    std::complex<double> z1(0, -2);
    std::cout << "asinh" << z1 << " = " << std::asinh(z1) << '\n';
 
    std::complex<double> z2(-0.0, -2);
    std::cout << "asinh" << z2 << " (the other side of the cut) = "
              << std::asinh(z2) << '\n';
 
    // 任意の z について asinh(z) = asin(iz)/i
    std::complex<double> z3(1,2);
    std::complex<double> i(0,1);
    std::cout << "asinh" << z3 << " = " << std::asinh(z3) << '\n'
              << "asin" << z3*i << "/i = " << std::asin(z3*i)/i << '\n';
}

asinh(0.000000,-2.000000) = (1.316958,-1.570796)
asinh(-0.000000,-2.000000) (the other side of the cut) = (-1.316958,-1.570796)
asinh(1.000000,2.000000) = (1.469352,1.063440)
asin(-2.000000,1.000000)/i = (1.469352,1.063440)

[編集] 関連項目