数字 n  代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合。

示例：

输入：n = 3
输出：[
       "((()))",
       "(()())",
       "(())()",
       "()(())",
       "()()()"
     ]

来源：力扣（LeetCode）
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思路

动态规划

这题 DP 的思路比较难找，其实是这样的：

先建立一个数组 dp，假设 dp 中的每个下标存着「当前下标可以凑成的括号全部种类」。目前我们知道最小的状态，也就是只有一对括号的时候， dp[1] = ['()']。

对于之后的每一次状态，都先假设「拿出一个括号」包在最外面（所以后面的代码里会出现很多 i - 1，就是减去了已经使用的括号）。

然后分别去计算这个拿出来的括号「内部」分别使用 0 ~ n 时可以有几种排列方式，并且在这个括号的外部，用「剩余的括号对数」可以有几种排列方式，这几种方式的「笛卡尔积」就是结果。

对于 dp[2]：

我们假设有一对新加入的括号 ()包所有情况的最外面，因为我们默认用掉了 1 对括号包在最外面，那么此时还剩下的可使用的括号对数是 2 - 1 = 1，也就是 1 对。

那么我们思考一下， 被这对新括号所包括的内部（新加入的括号我会用空格分隔，便于观察）：

1. 包住「1 对括号时候的所有排列」，也就是 ( () )，此时正好用光两对括号。

2. 包住「0 对括号时候的所有排列」，也就是 ( )，此时还剩一对括号，那么去找 dp[1]，也就是剩余 1 对括号时的全部排列，放在( )的右边，也就拼成了( )()。

此时得出，dp[2] = ['(())', '()()']。

对于 dp[3]：

1. 包住「2 对括号时候的所有排列」，从刚刚算出的 dp[2] 中分别取出所有情况，此时拼成了
   (dp[2]的所有情况)，也就是 ( (()) ), ( ()() )。

2. 包住「1 对括号时的所有排列」，从 dp[1]取所有情况，此时拼成了
   ( () )，此时还剩下 1 对括号，再取 dp[1] 放在这个结果的右边， ( () )()。

3. 包住「0 对括号时候的所有排列」，此时拼成了 ( )，此时还剩下 2 对括号，再取 dp[2]的所有情况拼在右边，( )(()), ( )()()。

以上所有情况，就是 dp[3]的结果，dp[3] = ['( (()) )', ' ( ()() )', '( () )()', '( )(())', ' ( )()()']。

所以，此题的状态转移方程是 dp[i] = "(" + dp[j] + ")" + dp[i- j - 1] , j = 0, 1, ..., i - 1。

let generateParenthesis = function (n) {
  let dp = []
  // 这里放一个空字符串，不然遍历的时候会跳过
  // dp[0]就是取出一个空的字符串拼接到括号的内部去
  dp[0] = ['']
  dp[1] = ['()']

  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    let res = []
    for (let j = 0; j <= i - 1; j++) {
      let inners = dp[j]
      let outers = dp[i - 1 - j]

      for (let inner of inners) {
        for (let outer of outers) {
          res.push(`(${inner})${outer}`)
        }
      }
    }
    dp[i] = res
  }
  return dp[n]
}

回溯法

利用回溯法，不断的朝着前一个结果的尾部追加左括号或者右括号，即可枚举出全部结果。

注意条件限制，由于我们是只往尾部添加括号，所以右括号的使用数量不能大于左括号，否则无法形成结果，比如())这种就不可能在往尾部追加其他括号的情况下得到一个解。

利用变量 left、right 分别记录剩余的左右括号数量，利用 prev 记录上一轮递归中已经形成的中间结果，当 left 和 right 都为 0，就得到一个结果，记录进 res 中。

/**
 * @param {number} n
 * @return {string[]}
 */
let generateParenthesis = function (n) {
  let res = []

  let helper = (left, right, prev) => {
    if (left < 0 || right < 0 || right < left) {
      return
    }
    if (left === 0 && right === 0) {
      res.push(prev)
      return
    }

    helper(left - 1, right, prev + '(')
    helper(left, right - 1, prev + ')')
  }

  helper(n, n, '')
  return res
}