Nhấn vào đây để đọc bằng ngôn ngữ khác: English

Một số phức là một số có thể được biểu diễn dưới dạng a + b * i, trong đó a và b là các số thực, và i là một giải pháp của phương trình x^2 = −1. Vì không có số thực nào thỏa mãn phương trình này, i được gọi là một số ảo. Đối với số phức a + b * i, a được gọi là phần thực, và b được gọi là phần ảo.

Một Số Phức là sự kết hợp của một Số Thực và một Số Ảo:

Về mặt hình học, số phức mở rộng khái niệm của đường số một chiều sang mặt phẳng phức hai chiều bằng cách sử dụng trục hoành cho phần thực và trục tung cho phần ảo. Số phức a + b * i có thể được xác định với điểm (a, b) trên mặt phẳng phức.

Một số phức có phần thực bằng không được gọi là số ảo tuyệt đối; các điểm cho những số này nằm trên trục thẳng đứng của mặt phẳng phức. Một số phức có phần ảo bằng không có thể được xem như một số thực; điểm của nó nằm trên trục hoành của mặt phẳng phức.

Một số phức có thể được biểu diễn hình thức bằng cách sử dụng một cặp số (a, b) tạo thành một vector trên một biểu đồ gọi là biểu đồ Argand, đại diện cho mặt phẳng phức. Re là trục thực, Im là trục ảo, và i thỏa mãn i^2 = −1.

Số phức không có nghĩa là phức tạp. Nó có nghĩa là hai loại số, thực và ảo, cùng tạo thành một số phức, giống như một khu phức hợp (những tòa nhà được kết nối với nhau).

Một cách khác để định nghĩa một điểm P trong mặt phẳng phức, ngoài việc sử dụng các tọa độ x và y, là sử dụng khoảng cách từ điểm O, điểm có tọa độ (0, 0) (nguồn gốc), cùng với góc được chia đều giữa trục thực dương và đoạn thẳng OP theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Ý tưởng này dẫn đến dạng cực của số phức.

Giá trị tuyệt đối (hoặc độ lớn) của một số phức z = x + yi là:

Góc của z (trong nhiều ứng dụng được gọi là "pha") là góc của bán kính OP với trục thực dương, và được viết dưới dạng arg(z). Như với giá trị tuyệt đối, góc có thể được tìm từ dạng hình chữ nhật x+yi:

Cả r và φ cùng cung cấp một cách khác để biểu diễn số phức, là dạng cực, vì sự kết hợp của độ lớn và góc hoàn toàn xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng. Việc khôi phục lại các tọa độ hình chữ nhật ban đầu từ dạng cực được thực hiện thông qua công thức gọi là dạng lượng giác:

Sử dụng công thức Euler, điều này có thể được viết dưới dạng:

Để cộng hai số phức, chúng ta cộng từng phần một riêng lẻ:

(a + b * i) + (c + d * i) = (a + c) + (b + d) * i

Ví dụ

(3 + 5i) + (4 − 3i) = (3 + 4) + (5 − 3)i = 7 + 2i

Trên mặt phẳng phức, phép cộng sẽ trông như sau:

Để trừ hai số phức, chúng ta trừ từng phần một riêng lẻ:

(a + b * i) - (c + d * i) = (a - c) + (b - d) * i

Ví dụ

(3 + 5i) - (4 − 3i) = (3 - 4) + (5 + 3)i = -1 + 8i

Để nhân số phức, mỗi phần của số phức đầu tiên được nhân với mỗi phần của số phức thứ hai:

Chỉ cần sử dụng "FOIL", viết tắt của "Firsts, Outers, Inners, Lasts" (see Nhân Đa Thức để biết thêm chi tiết):

• Firsts: a × c
• Outers: a × di
• Inners: bi × c
• Lasts: bi × di

Nhìn chung, nó trông như thế này:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2

Nhưng cũng có một cách nhanh hơn!

Sử dụng quy tắc này:

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ví dụ

(3 + 2i)(1 + 7i)
= 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i
= 3 + 21i + 2i + 14i^2
= 3 + 21i + 2i − 14   (bởi vì i^2 = −1)
= −11 + 23i

(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i

Chúng ta sẽ cần biết về phức hợp trong một phút nữa!

Phức hợp là khi chúng ta thay đổi dấu ở giữa như thế này:

Một phức hợp thường được viết với một dấu than trên:

______
5 − 3i   =   5 + 3i

Trên mặt phẳng phức, số phức phức hợp sẽ được phản chiếu qua trục số thực.

Phức hợp được sử dụng để giúp phép chia số phức.

Mánh là nhân cả trên và dưới với phức hợp của dưới.

Ví dụ

2 + 3i
------
4 − 5i

Nhân cả trên và dưới với phức hợp của 4 − 5i:

  (2 + 3i) * (4 + 5i)   8 + 10i + 12i + 15i^2
= ------------------- = ----------------------
  (4 − 5i) * (4 + 5i)   16 + 20i − 20i − 25i^2

Bây giờ hãy nhớ rằng i^2 = −1, vì vậy:

  8 + 10i + 12i − 15    −7 + 22i   −7   22
= ------------------- = -------- = -- + -- * i
  16 + 20i − 20i + 25      41      41   41

Tuy nhiên, có một cách nhanh hơn.

Trong ví dụ trước, điều gì đã xảy ra ở dưới là thú vị:

(4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i

Các thuật ngữ giữa (20i − 20i) bị loại bỏ! Hơn nữa, i^2 = −1 nên chúng ta kết thúc với điều này:

(4 − 5i)(4 + 5i) = 4^2 + 5^2

Điều này thực sự là một kết quả khá đơn giản. Quy tắc chung là:

(a + bi)(a − bi) = a^2 + b^2

• Wikipedia
• Math is Fun